1. Xét các phương trình sau:

     \(2{x^2} - 5x - 3 = 0;\)                        \({x^2} - 7x + 4 = 0;\)                    \(0{x^2} - 3x + 4 = 0;\)                       \( - {x^2} + 2y + 4 = 0.\)

     a) Trong các phương trình trên, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn và chỉ rõ các hệ số \(a;b;c.\)

     b) Giải các phương trình bậc hai vừa tìm được.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Bạn An chia đoạn thẳng \(AB\) dài 10 cm thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn \(AB\) bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn. Hãy tìm tỉ số ấy.

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có các phương trình bậc hai một ẩn là:

\(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) và \({x^2} - 7x + 4 = 0.\)

• Với phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(a = 2;b =  - 5;c =  - 3\).

• Với phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(a = 1;b =  - 7;c = 4.\)

b) Giải phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 3} \right) = 49 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt {49} }}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) và \({x_2} = \frac{{5 - \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 2}}{4} =  - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 5x - 3 = 0\) là: \(\left\{ { - \frac{1}{2};3} \right\}.\)

Giải phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\), ta có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.4 = 33 > 0\).

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}\) và \({x_2} = \frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 7x + 4 = 0\) là \(\left\{ {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2};\frac{{7 - \sqrt {33} }}{2}} \right\}\).

     2. Giả sử điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, \(AM > MB.\)

Gọi độ dài của \(AM = x\) \(({\rm{cm}})\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) suy ra \(MB = 10 - x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn \(AB\) bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AM}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\).

Giải phương trình:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\)

\({x^2} = 10\left( {10 - x} \right)\)

\({x^2} = 100 - 10x\)

\({x^2} + 10x - 100 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \({x_1} =  - 5 - 5\sqrt 5 ;\)\({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 .\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} =  - 5 + 5\sqrt 5 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(AM =  - 5 + 5\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{,}}\) tỉ số cần tìm là \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}.\)