Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Ba đường cao \(AI,\,\,BK,\,\,CL\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh:

a) Tứ giác \(BIHL\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(IKL.\)

1. Vì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ  - \widehat {ABC} = 180^\circ  - 106^\circ  = 74^\circ .\) Khi đó,  (số đo cung gấp hai lần số đo góc nội tiếp chắn cung đó)

     2. Vì \(ABCDEG\) là lục giác đều nên \(AB = BC = CD = DE = EG = GA\) và \(OA = OB = OC = OD = OE = OG\).

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OBC\) có: \(OA = OB,\,\,OB = OC,\,\,AB = BC\) Do đó \(\Delta OAB = \Delta OBC\) (c.c.c) Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC}\) (hai góc tương ứng). Tương tự, ta sẽ chứng minh được \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOG} = \widehat {GOA}.\) Lại có: \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COD} + \widehat {DOE} + \widehat {EOG} + \widehat {GOA} = 360^\circ \)

Suy ra \(6\widehat {GOA} = 360^\circ \) nên \[\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOG} = \widehat {GOA} = 60^\circ .\]

Do đó, \(\widehat {AOE} = \widehat {GOA} + \widehat {EOG} = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ .\)

Lại có \(OA = OE.\) Như vậy, phép quay ngược chiều \(120^\circ \) tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(E.\)

     a) Thay \(x =  - 2,y = 8\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(8 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 8\) nên \(a = 2.\)

Vậy \(a = 2\) thì ta được hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;8} \right).\)

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 2;8} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;2} \right);\)\(\left( {2;8} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số như sau:

     c) Ta có: \(\left( P \right):y = 2{x^2}\), thay \(y = 2,\) ta được: \(2{x^2} = 2\), suy ra \({x^2} = 1\) nên \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1.\)

Do đó, các điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) có tung độ \(y = 2\) là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).

     d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:

\(a{x^2} = x + 6\) hay \(a{x^2} - x - 6 = 0\) (1)

Thay \(x = \frac{6}{5}\) vào phương trình (1), ta có: \(\frac{{36}}{{25}}a - \frac{6}{5} - 6 = 0\) hay \(\frac{{36}}{{25}}a - \frac{{36}}{5} = 0\) nên \(\frac{{36}}{{25}}a = \frac{{36}}{5}.\)

Do đó, \(a = 5\) (thỏa mãn).

Vậy \(\left( P \right):y = 5{x^2}\).