Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Ba đường cao \(AI,\,\,BK,\,\,CL\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh:

a) Tứ giác \(BIHL\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(IKL.\)

     a) Với \(m = 2,\) ta có: \(\left( {2.2 - 3} \right){x^2} - 2\left( {2 - 2} \right)x - 1 = 0\) hay \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\).

     Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\).

     Vậy với \(m = 2,\) phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1;1} \right\}\).

     b) Xét phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\), ta có:

     • Với \(2m - 3 = 0\) thì \(m = \frac{3}{2}\) thì ta được: \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\). (1)

     • Với \(2m - 3 \ne 0\) thì \(m \ne \frac{3}{2}\) ta được phương trình bậc hai \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\)

     Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} + \left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\). (2)

     Từ (1) và (2), suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) và \(2m - 3 \ne 0\), suy ra \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) và \(m \ne \frac{3}{2}\), do đó \(m \ne 1\) và \(m \ne \frac{3}{2}\).

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\end{array} \right.\).

     Mà theo đề, ta có: \(2{x_1} + 3{x_2} = 5\) suy ra \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\).

     Thay \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\) vào \({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\), ta được: \(\frac{{5 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\).

     Suy ra \(5 - {x_2} = \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\) nên \({x_2} = 5 - \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 7}}{{2m - 3}}\).

     Do đó, \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}{x_2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}.\frac{{6m - 7}}{{2m - 3}} = \frac{{ - 8m + 6}}{{2\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 4m + 3}}{{2m - 3}}\).

Mà \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\) nên \(\frac{{6m - 7}}{{\left( {2m - 3} \right)}}.\frac{{\left( { - 4m + 3} \right)}}{{\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}\).

Suy ra \(\left( {6m - 7} \right).\left( { - 4m + 3} \right) =  - \left( {2m - 3} \right)\)

Do đó, \(24{m^2} - 46m + 21 = 2m - 3\) hay \(24{m^2} - 48m + 24 = 0\)

Suy ra \({m^2} - 2m + 1 = 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(m = 1\) (loại).

Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

     a) Thay \(x =  - 2,y = 8\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(8 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 8\) nên \(a = 2.\)

Vậy \(a = 2\) thì ta được hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;8} \right).\)

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) như sau:

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 2;8} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;0} \right);\left( {1;2} \right);\)\(\left( {2;8} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số như sau:

     c) Ta có: \(\left( P \right):y = 2{x^2}\), thay \(y = 2,\) ta được: \(2{x^2} = 2\), suy ra \({x^2} = 1\) nên \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1.\)

Do đó, các điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) có tung độ \(y = 2\) là \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).

     d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:

\(a{x^2} = x + 6\) hay \(a{x^2} - x - 6 = 0\) (1)

Thay \(x = \frac{6}{5}\) vào phương trình (1), ta có: \(\frac{{36}}{{25}}a - \frac{6}{5} - 6 = 0\) hay \(\frac{{36}}{{25}}a - \frac{{36}}{5} = 0\) nên \(\frac{{36}}{{25}}a = \frac{{36}}{5}.\)

Do đó, \(a = 5\) (thỏa mãn).

Vậy \(\left( P \right):y = 5{x^2}\).