(2,0 điểm)

1. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\,\,\left( {AB < AC} \right)\], đường cao \(AH.\) Biết \(AB = 6\,\,{\rm{cm}}\) và \(\cos \widehat {ABC} = \frac{3}{5}\). Tính \(BC,\,\,AC,\,\,BH.\)

2. Từ trên một ngọn hải đăng cao \(75\,\,{\rm{m}}\), người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là \(30^\circ \) và \(45^\circ \) (xem hình vẽ). Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {x > 0} \right).\]

\[y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {y > 0} \right).\]

Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng \[68{\rm{ m}}\] nên \[2x + 2y = 68\] hay \[x + y = 34\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là \[2x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \[3y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

Chu vi của khu vườn sau khi tăng là \[2 \cdot 2x + 2 \cdot 3y = 178\] hay \[2x + 3y = 89{\rm{ }}\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\2x + 3y = 89\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 34 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được

\(2\left( {34 - y} \right) + 3y = 89\), tức là \(2y = 42\), suy ra \(y = 21\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).

Từ đó \(x = 34 - 21 = 13\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).

Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(13 \cdot 21 = 273\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là \(273\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \[2x + y + 5x - y = 14\] hay \[7x = 14\], suy ra \[x = 2.\]

Thế \[x = 2\] vào phương trình thứ nhất, ta được \[2 \cdot 2 + y = 4\], suy ra \(y = 0.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,;\,\,0} \right).\]

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 6\\4x + 2y = 8.\end{array} \right.\]

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \[--5y = --2\] hay \[y = \frac{2}{5}.\]

Thế \[y = \frac{2}{5}\] vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có \[4x - 3 \cdot \frac{2}{5} = 6\] hay \[4x = \frac{{36}}{5}\], suy ra \[x = \frac{9}{5}.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{9}{5};\,\,\frac{2}{5}} \right).\]