Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và \(\widehat B = \alpha .\) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HC}}\) bằng:

(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ .\)

b) \(B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}.\)

Phát biểu “\(a\) không nhỏ hơn \(b\)” được biểu diễn bằng bất đẳng thức nào dưới đây?

(1,5 điểm) Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\)

a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h.

(2,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0.\)

b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\);

c) \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\];

d) \(3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}\).

Cho \(\alpha = 40^\circ \) và \(\beta = 50^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x - y = 4\end{array} \right.\]?