Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\). Khi đó:

a) Dãy số (u_n) có số hạng thứ 10 là \({u_{10}} = \frac{1}{4}\).

b) Dãy (u_n) là dãy không tăng, không giảm.

c) Dãy số (u_n) là dãy bị chặn.

d) Dãy số (u_n) bị chặn trên bởi \(\frac{1}{3}\).

a) Ta có u4 = 34 = 81 < 100.

b) Ta có u1 = 3; u9 = 39 = 19683; u5 = 35 = 243.

Khi đó \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}\).

c) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3\). Do đó dãy (un) là dãy tăng.

Có un ³  3, ∀n Î ℕ*. Suy ra dãy (un) bị chặn dưới.

d) A = 1 + u1 + u2 + ...+ u2024 = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 32024.

Ta có 3A = 3 + 32 + ... + 32025.

Lấy 3A – A = 32025 – 1 Þ \(A = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{3^{2024}} - 1}}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

Ta có un = 2n + 1; un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.

Suy ra un + 1 – un = 2 > 0, ∀n Î ℕ*.

Vậy (un) giảm.