Cho dãy số (u_n) với u_n = 3ⁿ, ∀n Î ℕ*.

a) u₄ < 100.

b) \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\).

c) Dãy số tăng và bị chặn.

d) 1 + u₁ + u₂ + ...+ u₂₀₂₄ = \(\frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}\).

 a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} =  - 11\).

Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; .... đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án B: \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\)Þ u1 > u2 > u3 > ... > un > ... nên dãy này là dãy giảm.

Xét đáp án C: \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\) Þ u1 > u2 < u3 nên dãy này không tăng, không giảm.

Xét đáp án D: 1; 3; 5; 7; 9; …. Þ un < un + 1, n Î ℕ* nên dãy này là dãy tăng.