10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Cấp số cộng có công thức tổng quát cho số hạng thứ n là: u_n = – 4 + (– 4).(n – 1) .

Áp dụng công thức $S_n=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$ nên

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$S_{10}=\frac{10\cdot \left[2\cdot \left(-4\right)+\left(10-1\right)\cdot \left(-4\right)\right]}{2}=-220$.

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1+4d+3\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+d\right)=-21\\ 3\left(u_1+6d\right)-2\left(u_1+3d\right)=-34\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}.\right.\right.$

Tổng của 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20\left(2u_1+19d\right)}{2}=-530.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết thì u₂ + u₂₂ = 20

\(\Leftrightarrow \) u₁ + d + u₁ + 21d = 20

\(\Leftrightarrow \) 2u₁ + 22d = 20.

Vậy \({S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2} = \frac{{23.20}}{2} = 230.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({S_8} = 72 = \frac{{8\left( {{u_1} + {u_8}} \right)}}{2} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_8} = 18\)   (1)

Lại có: u₈ = u₁ + 7d \(\Leftrightarrow \) u₈ – u₁ = 7d = –14           (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_8} = 18}\\{{u_8} - {u_1} = - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\{u_8} = 2\end{array} \right.\).

Ta có dãy số 2; 4; 6;… ; 2n − 2; 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2.

Số hạng tổng quát: u_n= 2 + 2(n – 1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

\[ \Rightarrow {S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 2} \right)}}{2} = n\left( {n + 1} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có: \[{S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850\]

\[ \Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5\]

\[ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.\]