20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Giới hạn của dãy số có đáp án

Ta có \[{\mathop{\rm li}\nolimits} {\rm{m}}\frac{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{n + 8}}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{n}}}}}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{8}}}{{\rm{n}}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt[{\rm{3}}]{{\rm{1}}}}}{\rm{ = 1}}\]

Đáp án cần chọn là: B

\[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Dễ thấy \[{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\] nên A đúng

Do \[\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{\rm{n}}}}}{{\rm{n}}}} \right| \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}\] và \[{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]

Theo nguyên lý kẹp suy ra, \[{\rm{lim}}{{\rm{v}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có \[{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\]

Khi \[{\rm{n}} \to \infty \Rightarrow {2^{\rm{n}}} < {3^{\rm{n}}}\] do đó \[{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} \Rightarrow \frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)}}{{\rm{2}}}{\rm{ < }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}\]

Ta có \[{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n + 2}}} {\rm{ = lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} \sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} \]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{0}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} \le \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}}}} = \frac{{\rm{n}}}{{\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - 1} \right)}}{2}}}}\\{{\rm{lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}}}\end{array}} \right. = \frac{2}{{{\rm{n}} - 1}} \to 0 \Rightarrow {\rm{lim}}\frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = 0}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lim}}\sqrt {{{\rm{3}}^{\rm{n}}}} {\rm{ = + }}\infty }\\{{\rm{lim}}\sqrt {{\rm{2}} - \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}} + 2 + \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}}}}} {\rm{ = }}\sqrt 2 > 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \lim \sqrt {{{2.3}^{\rm{n}}} - {\rm{n}} + 2} = + \infty \]

Đáp án cần chọn là: D

</></>

Ta có \[0 \le \left| {\frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| \le \left| {\frac{{\left( {{3^2} + {4^2}} \right).\left( {{{\sin }^2}{\rm{n}} + {{\cos }^2}{\rm{n}}} \right)}}{{{\rm{n}} + 1}}} \right| = \frac{5}{{{\rm{n}} + 1}} \to 0\]

Theo nguyên lý kẹp ta suy ra \[\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}} = 0\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có\[0 \le \left| {\frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}} \right| \le \frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} \to 0\]

Theo nguyên lý kẹp ta có: \[\lim \frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}} = 0\]

Suy ra \[\lim \left( {5 - \frac{{{\rm{ncos2n}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}} \right) = 5\]

Đáp án cần chọn là: C

Định nghĩa 1\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Đáp án cần chọn là: A

Ta có \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{v}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n + 1}}}}{{{\rm{n + 2}}}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}}}}{{{\rm{1 + }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = 1}}\]

Đáp án cần chọn là: A