(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Trên tia đối của tia \(DA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(D\) là trung điểm của \(AE\).

a) Chứng minh \(\Delta ADB = \Delta EDC.\)

b) Chứng minh \(AC\parallel BE.\)

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\), \(AH\) cắt \(BE\) tại \(M\), kẻ \(EI\) vuông góc với \(BC\) tại \(I,\) \(EI\) cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh ba điểm \(M,D,N\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta EDC\), có:

\(AD = DE\) (gt)

\(\widehat {ADB} = \widehat {CDE}\) (đối đỉnh)

\(BD = DC\) (gt)

Do đó, \(\Delta ADB = \Delta EDC\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta EDB\), có:

\(AD = DE\) (gt)

\(\widehat {ADC} = \widehat {BDE}\) (đối đỉnh)

\(BD = DC\) (gt)

Do đó, \(\Delta ADC = \Delta EDB\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(AC\parallel BE.\)

c) Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ICE\), có:

\(AB = EC{\rm{ }}\left( {\Delta ADB = \Delta EDC} \right)\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {EIC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ICE}{\rm{ }}\left( {\Delta ADB = \Delta EDC} \right)\)

Do đó, \(\Delta HBA = \Delta ICE\) (ch – gn)

Suy ra \(BH = IC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta HBM\) và \(\Delta ICN,\) có:

\(BH = IC\) (cmt)

\(\widehat {BHM} = \widehat {NIC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {MBH} = \widehat {ICN}\) (so le trong)

Do đó, \(\Delta HBM = \Delta ICN\) (cgv – gn)

Suy ra \(BM = NC\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta CDN\), có:

\(BM = CN\) (cmt)

\(BD = DC\) (gt)

\(\widehat {MBD} = \widehat {DCN}\) (so le trong)

Do đó, \(\Delta BDM = \Delta CDN\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BDM} = \widehat {CDN}\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có, \(\widehat {BDM}\) và \(\widehat {CDM}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BDM} + \widehat {CDM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {BDM} = \widehat {CDN}\) (cmt) suy ra \(\widehat {CDN} + \widehat {CDM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NDM} = 180^\circ \).

Suy ra ba điểm \(D,M,N\) thẳng hàng.