(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Gọi \(E,\,\,G,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,AC.\) Từ \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(BF\), đường thẳng này cắt \(GF\) tại \(I.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(AGCI\) là hình vuông.

Cho biết \(\Delta ABC\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC = 6\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,CA = 8\,\,{\rm{cm}}\) và \[AD\] là đường phân giác của \(\Delta ABC.\) Tính độ dài cạnh \[DB\] theo đơn vị cm.

Cho tứ giác \(MNPQ\) có \(PM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {NPQ}.\) Biết \(\widehat {QMN} = 110^\circ ,\) \(\widehat {N\,} = 120^\circ \) và \(\widehat {Q\,} = 60^\circ .\) Tính số đo của \(\widehat {MPQ}\) (đơn vị: độ).

Cho tam giác \[ABC\] có \[AM\] là đường trung tuyến. Lấy \[D\] thuộc \[AC\] sao cho \[AD = \frac{1}{2}DC\]. Kẻ \[ME\parallel BD\] \[\left( {E \in DC} \right)\], \[BD\] cắt \[AM\] tại \[I\].

a) \[AD = \frac{1}{2}DE.\]

b) \[I\] là trung điểm của \[AM\].

c) \[{S_{AIB}} = {S_{IMB}}.\]

d) \[{S_{ABC}} = 3{S_{IBC}}.\]

Cho biểu thức \(M = {\left( {x + 3} \right)^3} - \left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 27} \right)\). Giá trị của biểu thức \(M\) bằng bao nhiêu?

(0,5 điểm) Bố Bình có một vườn cây hình tam giác, 3 đỉnh góc vườn có lắp 3 vòi tưới, 3 mép vườn lần lượt trồng ổi, táo và bưởi. Vì hàng bưởi dài nên bố Bình muốn lắp thêm một vòi tưới số 4 tại hàng bưởi sao cho khoảng cách từ vòi này tới vòi 2 và tới vòi 3 tỉ lệ với độ dài hàng ổi và hàng táo, biết góc vườn tại vòi 1 là \(110^\circ \).

Hãy xác định vị trí của điểm đặt vòi 4 và cho biết khoảng cách từ vòi tưới số 4 tới vòi tưới số 3, biết khoảng cách từ vòi 2 đến vòi 4 là \[12\,\,{\rm{m}}\] và chiều dài hàng ổi là \[15\,\,{\rm{m}}\], hàng táo là \[20\,\,{\rm{m}}.\]

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \(2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {3 - x} \right) = 0?\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?