Cho biết \(\Delta ABC\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC = 6\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,CA = 8\,\,{\rm{cm}}\) và \[AD\] là đường phân giác của \(\Delta ABC.\) Tính độ dài cạnh \[DB\] theo đơn vị cm.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 35.

Xét tứ giác \[MNPQ,\] ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ \) (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra \(\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ \).

Do \[PM\] là tia phân giác của góc \[NPQ\] nên ta có: \(\widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ \).

Vậy số đo của \(\widehat {MPQ}\) là \(35^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

⦁ Xét \[\Delta DCB\] có \[ME\parallel DB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[ME\] là đường trung bình của tam giác \[BDC\].

Suy ra \[E\] là trung điểm của \[DE\] nên \[DE = EC = \frac{1}{2}DC\].

Như vậy \[AD = DE.\] Do đó ý a) sai.

⦁ Xét tam giác \[AME\] có \[ID\parallel ME\] và \[AD = DE\] nên \[DI\] là đường trung bình của tam giác \[AME.\]

Suy ra \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\] Do đó ý b) đúng.

⦁ Hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \[B\] xuống đáy \[AM\], gọi là \[{h_B}.\]

Khi đó, diện tích của hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] là: \[{S_{ABI}} = \frac{1}{2}{h_B} \cdot AI;{\rm{ }}{S_{BMI}} = \frac{1}{2}{h_B} \cdot IM\].

Mà \[AI = AM\] nên \[{S_{AIB}} = {S_{IMB}}.\] Do đó ý c) đúng.

⦁ Gọi \[{h_A},\,\,{h_I}\] lần lượt chiều cao hạ từ \[A\] và \[I\] xuống đáy \[BC\].

Vì \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM\] nên \[{h_A} = 2{h_I}\].

Diện tích của hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] là:

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_A} \cdot BC\,;{\rm{ }}{S_{IBC}} = \frac{1}{2}{h_I} \cdot BC\].

Khi đó, \[\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{IBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_A} \cdot BC}}{{\frac{1}{2}{h_I} \cdot BC}} = \frac{{{h_A}}}{{{h_I}}} = 2\] nên \[{S_{ABC}} = 2{S_{IBC}}.\] Do đó ý d) sai.