(0,5 điểm) Bố Bình có một vườn cây hình tam giác, 3 đỉnh góc vườn có lắp 3 vòi tưới, 3 mép vườn lần lượt trồng ổi, táo và bưởi. Vì hàng bưởi dài nên bố Bình muốn lắp thêm một vòi tưới số 4 tại hàng bưởi sao cho khoảng cách từ vòi này tới vòi 2 và tới vòi 3 tỉ lệ với độ dài hàng ổi và hàng táo, biết góc vườn tại vòi 1 là \(110^\circ \).

Hãy xác định vị trí của điểm đặt vòi 4 và cho biết khoảng cách từ vòi tưới số 4 tới vòi tưới số 3, biết khoảng cách từ vòi 2 đến vòi 4 là \[12\,\,{\rm{m}}\] và chiều dài hàng ổi là \[15\,\,{\rm{m}}\], hàng táo là \[20\,\,{\rm{m}}.\]

Hướng dẫn giải

Gọi \(D\) là vị trí của điểm đặt vòi 4.

Vì khoảng cách từ vòi bơm số 4 đến vòi 2 và đến vòi 3 tỉ lệ với chiều dài hàng ổi và hàng táo nên đường thẳng \[AD\] (đi qua vòi 1 và vòi 4) là đường phân giác của tam giác \[ABC.\]

Khi đó, vị trí vòi 4 là điểm \(D\) (giao điểm của đường phân giác tại góc vườn \(110^\circ \) với hàng bưởi).

Khoảng cách từ vòi 2 đến vòi 4 là \[12\,\,{\rm{m}}\] nên \[BD = 12\,\,{\rm{m}}\];

Chiều dài hàng ổi là \[15\,\,{\rm{m}}\], hàng táo là \[20\,\,{\rm{m}}\] nên \[AB = 15\,\,{\rm{m}}\,{\rm{;}}\,\,AC = 15\,\,{\rm{m}}\].

Khoảng cách từ vòi tưới số 4 tới vòi tưới số 3 là \(CD\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác nên ta có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác).

Hay \(\frac{{12}}{{CD}} = \frac{{15}}{{20}}\) suy ra \(CD = \frac{{12 \cdot 20}}{{15}} = 16\,\,\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Vậy vị trí của điểm đặt vòi 4 là giao điểm của đường phân giác tại góc vườn \(110^\circ \) với hàng bưởi; khoảng cách từ vòi tưới số 4 tới vòi tưới số 3 là \[16\,\,{\rm{m}}.\]