Câu hỏi:

24/07/2025 34

Một hòn đá rơi từ móm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị \({\rm{m}}/{\rm{s}}\) ) tại thời điểm t (tính theo giây) được cho bởi công thức \({\rm{v}}({\rm{t}})\) \( = 9,8{\rm{t}}\).

Quãng đường rơi được \(S\) của hòn đá tại thời điểm t được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến nguyên hàm (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi \({\rm{S}} = {\rm{S}}({\rm{t}})\) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm \({\rm{t}}({\rm{S}}({\rm{t}})\) tính theo m , t tính theo giây).

Suy ra \({S^\prime }({\rm{t}}) = {\rm{v}}({\rm{t}})\), do đó \({\rm{S}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của \(v({\rm{t}})\).

Ta có \(\int v (t)dt = \int 9 ,8tdt = 4,9{t^2} + C\). Suy ra \({\rm{S}}({\rm{t}}) = 4,9{{\rm{t}}^2} + {\rm{C}}\).

Mà hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm \({\rm{t}} = 0\) thì \({\rm{S}} = 0\) hay \({\rm{S}}(0) = 0\), suy ra \({\rm{C}} = 0\).

Vậy công thức tính quãng đường rơi được \({\rm{S}}({\rm{t}})\) của hòn đá tại thời điểm t là: \(S(t) = 4,9{t^2}.\)

Khi hòn đá chạm đất thì \({\rm{S}}({\rm{t}}) = 150\). Ta có \(4,9{{\rm{t}}^2} = 150\). Suy ra \(t = \pm \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\).

Mà \({\rm{t}} > 0\) nên \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\). Vậy sau \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7} \approx 5,53\) giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số \({h^\prime }(t) = \frac{1}{{216}}\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{, }}\)trong đó \(t\) tính bằng giờ \((0 \le t \le 24),{h^\prime }(t)\) tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số \(h(t)\).

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}\)

Suy ra \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\).

Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) nên \(h(0) = 6\), suy ra \(C = 6\).

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)\)

b) Ta tìm \({\min _{[0;24]}}h(t)\) và \({\max _{[0;24]}}h(t)\).

- \({h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 \) hoă̆c \(t = 12 + 4\sqrt 3 \).

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2) (ảnh 2)

Do đó, ta có: \({\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9\);

\({\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1\)

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11,1\;{\rm{m}}\) và thấp nhất khoảng \(0,9\;{\rm{m}}\).

c) Ta tìm \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)\).

- \({h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)\);

\({h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}\)

- Bảng biến thiên của hàm số \({h^\prime }(t)\) :

Do đó, ta có: \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}\).

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t = 0\) và \(t = 24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}\).

Câu 2

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: \[v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}\]. trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) \[\left( {t \ge 0} \right)\]

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triền nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\).

Ta có: \(\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)

Suy ra \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).

Vi cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên \({\rm{h}}(0) = 5\), suy ra \({\rm{C}} = 5\).

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).

b) Xét hàm số \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).

Ta có \(h(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h(t) = 0\) khi \(t = 0\) hoặc \({\rm{t}} = 10\).

Bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{265}}{3}\) cm .

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: \(v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)\).

Ta có \({v^{\prime \prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v}}\) (t) \( = 0\) khi \({\rm{t}} = 0\) hoặc \({\rm{t}} = \frac{{20}}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(v(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao \(\frac{{400}}{{27}}\;{\rm{cm}}\).

Câu 3