Câu hỏi:

24/07/2025 382

Đối vối các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi $m(t)$ là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứt (kể từ khi khởi công dự án). Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng ${M^\prime }(t) = m(t)$.

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số: $m(t) = 800 - 2t,$ trong đó $t$ tính theo ngày $(0 \le t \le 400),m(t)$ tính theo người (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hàm số $M(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $m(t)$.

Ta có $\int m (t)dt = \int {(800 - 2t)} dt = \int 8 00dt - \int 2 tdt = 800t - {t^2} + C$.

Suy ra $M(t) = 800t - {t^2} + C$.

Tại ${\rm{t}} = 0$ thì ${\rm{M}}({\rm{t}}) = {\rm{M}}(0) = 0$.

Do đó $800 \cdot 0 - {0^2} + C = 0$, suy ra $C = 0$.

Khi đó, $M({\rm{t}}) = 800{\rm{t}} - {{\rm{t}}^2}(0 \le {\rm{t}} \le 400)$.

Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là

$M(400) = 800 \cdot 400 - {400^2} = 160000$ (ngày công).

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành dự án) là

$160000 \cdot 400000 = 6,4 \cdot {10^{10}}$ (đồng) $ = 64$ (tỷ đồng).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: \[v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}\]. trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimet) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) \[\left( {t \ge 0} \right)\]

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số $v({\rm{t}})$.

Ta có: $\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$

Suy ra $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C$.

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên ${\rm{h}}(0) = 5$, suy ra $- 0, 025 \cdot 0^{4} + \frac{0^{3}}{3} + C = 5$ suy ra ${\rm{C}} = 5$.

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

b) Xét hàm số $h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)$.

Ta có $h'(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h'(t) = 0$ khi $t = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = 10$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $h(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\frac{{265}}{3}$ cm .

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: $v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)$.

Ta có ${v^{\prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v'}}$ (t) $ = 0$ khi ${\rm{t}} = 0$ (thỏa mãn) hoặc ${\rm{t}} = \frac{{20}}{3}$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên của hàm số $v(t)$ trên $[0; + \infty )$ như sau:

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng cho bởi hàm số: (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta suy ra thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất là $t = \frac{20}{3}$ . Khi đó chiều cao của cây cà chua là:

$h (\frac{20}{3}) = - 0, 025 \cdot {(\frac{20}{3})}^{4} + \frac{{(\frac{20}{3})}^{3}}{3} + 5 = \frac{4405}{81} (c m) .$

Câu 2

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số ${h^\prime }(t) = \frac{1}{{216}}\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{, }}$trong đó $t$ tính bằng giờ $(0 \le t \le 24),{h^\prime }(t)$ tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số $h(t)$.

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}$

Suy ra $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C$.

Tại thời điểm $t = 0$, mực nước trong hồ chứa là $6\;{\rm{m}}$ nên $h(0) = 6$, suy ra $C = 6$.

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: $h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)$

b) Ta tìm ${\min _{[0;24]}}h(t)$ và ${\max _{[0;24]}}h(t)$.

- ${h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 $ hoă̆c $t = 12 + 4\sqrt 3 $.

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2) (ảnh 2)

Do đó, ta có: ${\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\} = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9$;

${\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\} = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1$

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng $11,1\;{\rm{m}}$ và thấp nhất khoảng $0,9\;{\rm{m}}$.

c) Ta tìm ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)$.

- ${h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)$;

${h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}$

- Bảng biến thiên của hàm số ${h^\prime }(t)$ :

Do đó, ta có: ${\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}$.

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi $t = 0$ và $t = 24$. Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là $\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}$.

Câu 3