Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc như hình minh họa phía dưới. Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (α) đi qua điểm K và song song với mặt phẳng (ABCD).

Biết CK =80 cm, DH = 128 cm, BF = 1 m. Giả sử (α) cắt BF tại I. Tính độ dài đoạn BI (theo đơn vị cm).

Dựng CI song song với AB, I thuộc AB Þ AICD là hình bình hành Þ AI = DC.

Kẻ IH song song SA, H thuộc SB.

Xét mặt phẳng (CIH) có IC // AD và IH // SA Þ (CIH) // (SAD).

Khi đó (CIH) cắt SB tại E thì CE // (SAD) Û E ≡ H.

Ta có IE // SA (H trùng E) \( \Rightarrow \frac{{SE}}{{EB}} = \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{2}{3}\) Þ n = 3; m = 2. Do đó 2m + 3n = 13.

Trả lời: 13.

a) H, I lần lượt là trung điểm của SA, SB nên HI là đường trung bình của tam giác SAB.

Suy ra HI // AB mà AB Ì (ABCD) nên HI // (ABCD) (1).

b) I, K lần lượt là trung điểm của SB, SC nên IK là đường trung bình của tam giác SBC.

Suy ra IK // BC mà BC Ì (ABCD) nên IK // (ABCD) (2).

Từ (1) và (2), suy ra (HIK) // (ABCD).

c) \(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AI,AI \subset (SAB)}\\{M \in DK,DK \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow M \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\\ \Rightarrow SM = (SAB) \cap (SCD).\end{array}\)

\({\rm{ Khi d\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \cap (SCD) = SM}\\{AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \Rightarrow SM//AB//CD \Rightarrow SM//HI}\\{AB//CD}\end{array}} \right..\)

Mà H là trung điểm của SA nên I là trung điểm của AM.

Xét tứ giác ABMS có I là trung điểm của AM, I là trung điểm của SB nên tứ giác ABMS là hình bình hành.

d) \(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N \in DH,DH \subset (SAD)}\\{N \in CI,CI \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow N \in (SAD) \cap (SBC)} \right.\\ \Rightarrow SN = (SAD) \cap (SBC).\end{array}\)

Khi đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAD) \cap (SBC) = SN}\\{AD \subset (SAD),BC \subset (SBC) \Rightarrow SN//AD//BC \Rightarrow SN//KI}\\{AD//BC}\end{array}} \right.\).

Vì SM // HI mà HI Ì (HIK) nên SM // (HIK) (3).

Vì SN // KI mà KI Ì (HIK) nên SN // (HIK) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (SMN) // (HIK).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.