Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Khi đó:

a) Đường thẳng G₁G₂ và AC có một điểm chung.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.

c) Đường thẳng G₁G₂ song song với mặt phẳng (ABCD).

d) Mặt phẳng chứa đường thẳng G₁G₂ và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt là M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEF là hình bình hành.

a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) có O = AC Ç BD.

Trong (SAC), gọi I = SO Ç AN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = AN \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy điểm I là điểm nằm trên đường thẳng SO.

c) Trong (ABCD), gọi P = CM Ç BD.

Trong (SCM), gọi J = MN Ç SP.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J = MN \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy J là điểm nằm trên đường thẳng SP.

d) Dễ thấy B Î (ABN) Ç (SBD) (1).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN,AN \subset \left( {ABN} \right)\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (2).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN,MN \subset \left( {ABN} \right)\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra B, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SBD) nên ba điểm này thẳng hàng.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

Trong (ABCD), gọi E = MN Ç AC.

Trong (SAC) vẽ EQ // SC với Q Î SA.

Có \(\left\{ \begin{array}{l}QE//PN\left( {//SE} \right)\\PN \subset \left( {MNP} \right)\\E \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)Þ Q Î (MNP).

Þ Q = SA Ç (MNP).

Ta có MN là đường trung bình của DBCD nên MN // BD hay ME // BO.

Suy ra E là trung điểm của OC.

Khi đó \(\frac{{CE}}{{CO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).

Xét DSAC, ta có QE // SC nên \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Trả lời: 0,25.