Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và \(G\) là trọng tâm. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AG\). Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BI} \) ta được kết quả là \(\frac{{a\sqrt m }}{6}\). Khi đó, giá trị của \(m\) bằng bao nhiêu?

a) Đúng. Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\).

b) Sai. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,AB\).

Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM,BN\) cũng là các đường cao của tam giác \(ABC\), vì vậy \(H\) vừa là trực tâm vừa là trọng tâm tam giác này.

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABM\), ta có: \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Theo tính chất trọng tâm, ta có: \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) Sai. Vì các vectơ \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} \) không cùng phương nên chúng không thể bằng nhau.

d) Đúng. Dễ thấy ba vectơ \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} \) có độ dài bằng nhau:

\(\left| {\overrightarrow {HA} } \right| = \left| {\overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OB} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: \(\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {EB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {FA} ,\overrightarrow {AF} .\)

Đáp án: 6.