Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm \(O\) có cạnh \(AB = \sqrt 3 ,AD = 1\). Tìm vectơ \(\vec u\) khác vectơ không và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BD} \) (khác \(\overrightarrow {BD} \)), tính độ dài vectơ \(\vec u\) đó.

a) Đúng. Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\).

b) Sai. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,AB\).

Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM,BN\) cũng là các đường cao của tam giác \(ABC\), vì vậy \(H\) vừa là trực tâm vừa là trọng tâm tam giác này.

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABM\), ta có: \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Theo tính chất trọng tâm, ta có: \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) Sai. Vì các vectơ \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} \) không cùng phương nên chúng không thể bằng nhau.

d) Đúng. Dễ thấy ba vectơ \(\overrightarrow {HA} ,\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} \) có độ dài bằng nhau:

\(\left| {\overrightarrow {HA} } \right| = \left| {\overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

a) Đúng. Ta có \(C{A^2} = D{A^2} + D{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2}\) (Theo định lí Pythagore).

b) Sai. Từ câu a) suy ra \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 5 \).

c) Sai. Tương tự \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Dễ thấy \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(A\), do đó: \(\widehat {ABD} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {ABF} = 22,5^\circ \).

d) Sai. Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(A\), ta có: \(\left| {\overrightarrow {BF} } \right| = BF = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABF}}} = \frac{a}{{\cos 22,5^\circ }} \approx 1,08a\).