10 Bài tập Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+2\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}$.

Mà $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Do đó: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$

Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$

$\iff \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$

Vậy K là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-3\overrightarrow{KC}$

$\iff \overrightarrow{CP}=\left(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CA}\right)+2\left(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CB}\right)-3\overrightarrow{KC}$    (quy tắc ba điểm)

$\iff \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

Vậy tập hợp điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

$\iff \overrightarrow{OB}+4\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\right)=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}\right)$  (quy tắc ba điểm)

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\left(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}\right)-2\overrightarrow{BC}$   (quy tắc trừ hai vectơ)

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}+4\overrightarrow{CB}$

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)+2\overrightarrow{CB}$

$\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CB}$     (quy tắc ba điểm)

$\iff 3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{CI}$       (do I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$)

$\iff \overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CI}$

Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{IC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$

$\iff \left|\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+4\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$ (quy tắc ba điểm)

$\iff \left|3\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}\right)\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$

$\iff \left|3\overrightarrow{MO}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$            (do $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$)

$\iff \left|\overrightarrow{MO}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|$

⇔ MO = MA.

Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.

Hướng dẫn giải:  

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{MA}-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}$      (quy tắc ba điểm)

$\iff -\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$

Vậy M nằm trên tia AB và AM = 3AB.