20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB\,}  \cdot \overrightarrow {AC\,} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)\)\[ = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\]\[ = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \]\[ = \frac{1}{2}{a^2}\].

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\) do đó \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC} \] khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}\).

Vì \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ \].

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}\].

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) có

\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}\) \( = \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}\).

Do đó \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 120 \circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3 =  - 1\).

Đáp án đúng là: C

Do \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 5} \right)\), \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow v  = \left( {k;2} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow v \) vuông góc nên \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot k + \left( { - 5} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow k - 10 = 0 \Leftrightarrow k = 10\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3;5} \right)\).

\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {{{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right| = {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2}\). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = {\sqrt {{3^2} + {5^2}} ^2} = 34\).