Câu hỏi:

03/08/2025 5 Lưu

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,1} \right)\), \(B\left( {5\,;\,0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(AB\) sao cho \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \). Tính tổng \(a + b.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Do điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AB\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BM} \) cùng phương.

Suy ra tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {BM}  = t\overrightarrow {AB} \) \[\left( 1 \right)\].

Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 5;b} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 1} \right)\) \[\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a - 5 = 7t\\b =  - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 + 7t\\b =  - t\end{array} \right.\].

Suy ra \[M\left( {5 + 7t; - t} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( { - 2;1} \right)\], \(\overrightarrow {OM}  = \left( {5 + 7t; - t} \right)\).

Mặt khác ta lại có \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OM} }}{{OA \cdot OM}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10 - 15t}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {{{\left( {5 + 7t} \right)}^2} + {t^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (1)

Bình phương hai vế ta được \({\left( {\frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }}} \right)^2} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(8{t^2} + 10t + 3 = 0\).

Giải phương trình bậc hai ta có \(\left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{1}{2}\\t =  - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Thử lại ta có \(t =  - \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).

Đáp án: 2.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

c (ảnh 2)

Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} \).

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].

Xét tam giác \(CMB\) có

\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ  = 4900\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900}  = 70\) N.

Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với

\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).

Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow {MD}  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.

Đáp án: 1820.

Lời giải

c (ảnh 1)

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).

Vậy \(AI \bot BJ\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP