Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,1} \right)\), \(B\left( {5\,;\,0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(AB\) sao cho \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \). Tính tổng \(a + b.\)

Do điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AB\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BM} \) cùng phương.

Suy ra tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {BM}  = t\overrightarrow {AB} \) \[\left( 1 \right)\].

Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 5;b} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 1} \right)\) \[\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a - 5 = 7t\\b =  - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 + 7t\\b =  - t\end{array} \right.\].

Suy ra \[M\left( {5 + 7t; - t} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( { - 2;1} \right)\], \(\overrightarrow {OM}  = \left( {5 + 7t; - t} \right)\).

Mặt khác ta lại có \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OM} }}{{OA \cdot OM}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10 - 15t}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {{{\left( {5 + 7t} \right)}^2} + {t^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (1)

Bình phương hai vế ta được \({\left( {\frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }}} \right)^2} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(8{t^2} + 10t + 3 = 0\).

Giải phương trình bậc hai ta có \(\left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{1}{2}\\t =  - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Thử lại ta có \(t =  - \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).

Đáp án: 2.