Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,1} \right)\), \(B\left( {5\,;\,0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(AB\) sao cho \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \). Tính tổng \(a + b.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Do điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AB\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BM} \) cùng phương.
Suy ra tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {BM} = t\overrightarrow {AB} \) \[\left( 1 \right)\].
Ta có \(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 1} \right)\) \[\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a - 5 = 7t\\b = - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 + 7t\\b = - t\end{array} \right.\].
Suy ra \[M\left( {5 + 7t; - t} \right)\].
Ta có \[\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;1} \right)\], \(\overrightarrow {OM} = \left( {5 + 7t; - t} \right)\).
Mặt khác ta lại có \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OM} }}{{OA \cdot OM}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10 - 15t}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {{{\left( {5 + 7t} \right)}^2} + {t^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (1)
Bình phương hai vế ta được \({\left( {\frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }}} \right)^2} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(8{t^2} + 10t + 3 = 0\).
Giải phương trình bậc hai ta có \(\left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).
Thử lại ta có \(t = - \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình (1).
Vậy \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).
Đáp án: 2.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} \).
Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].
Xét tam giác \(CMB\) có
\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ = 4900\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900} = 70\) N.
Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với
\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).
Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow {MD} = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.
Đáp án: 1820.
Lời giải
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ = 3{a^2}\).
b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó, \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).
Vậy \(AI \bot BJ\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.