Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án đúng là: C

Do \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 5} \right)\), \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow v  = \left( {k;2} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow v \) vuông góc nên \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot k + \left( { - 5} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow k - 10 = 0 \Leftrightarrow k = 10\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }}\).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(45^\circ \), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\left( 1 \right)\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {90 + 10{y^2}}  = 6 - 4y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 4y \ge 0\\90 + 10{y^2} = {\left( {6 - 4y} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\{y^2} - 8y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - 1\).