Câu hỏi:

03/08/2025 5 Lưu

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), một đài kiểm soát không lưu đặt ở gốc tọa độ \(O\), đơn vị trên mỗi trục là kilômet. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 5;5} \right)\) và \(B\left( {2;6} \right)\). Biết rằng khi máy bay đến vị trí điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thì máy bay gần trạm kiểm soát không lưu nhất. Tính giá trị biểu thức \(20a - 15b\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

c (ảnh 1)

Máy bay \(M\) chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\) nên ta có \(M,A,B\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a + 5;b - 5} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {7;1} \right)\) cùng phương.

Khi đó, ta có \(\frac{{a + 5}}{7} = \frac{{b - 5}}{1} \Leftrightarrow a - 7b =  - 40\) (1).

Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là \(OM\), \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\) hay \(\overrightarrow {OM}  \bot \overrightarrow {AB} \) \(\left( {M \equiv H} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow 7a + b = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 7b =  - 40\\7a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{5}\\b = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(20a - 15b =  - 100\).

Đáp án: −100.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

c (ảnh 2)

Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} \).

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].

Xét tam giác \(CMB\) có

\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ  = 4900\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900}  = 70\) N.

Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với

\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).

Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow {MD}  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.

Đáp án: 1820.

Lời giải

c (ảnh 1)

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).

Vậy \(AI \bot BJ\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP