Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), một đài kiểm soát không lưu đặt ở gốc tọa độ \(O\), đơn vị trên mỗi trục là kilômet. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 5;5} \right)\) và \(B\left( {2;6} \right)\). Biết rằng khi máy bay đến vị trí điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thì máy bay gần trạm kiểm soát không lưu nhất. Tính giá trị biểu thức \(20a - 15b\).
Quảng cáo
Trả lời:

Máy bay \(M\) chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\) nên ta có \(M,A,B\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 5;b - 5} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {7;1} \right)\) cùng phương.
Khi đó, ta có \(\frac{{a + 5}}{7} = \frac{{b - 5}}{1} \Leftrightarrow a - 7b = - 40\) (1).
Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là \(OM\), \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\) hay \(\overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow {AB} \) \(\left( {M \equiv H} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow 7a + b = 0\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 7b = - 40\\7a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{5}\\b = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(20a - 15b = - 100\).
Đáp án: −100.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = - 3\].
\[{\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} \approx 6,1\].
Đáp án: 6,1.
Lời giải
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3} \right)\).
c) Sai. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 5\).
d) Đúng. Ta có \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {25} }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.