Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 3a,\,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(J\) thuộc đoạn \(AC\) thỏa mãn \(12AJ = 7AC\).
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4{a^2}\).
b) \(\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \(\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) \(AI \bot BJ\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 3a,\,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(J\) thuộc đoạn \(AC\) thỏa mãn \(12AJ = 7AC\).
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4{a^2}\).
b) \(\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \(\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) \(AI \bot BJ\).
Quảng cáo
Trả lời:

a) Sai. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ = 3{a^2}\).
b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó, \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).
Vậy \(AI \bot BJ\).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = - 3\].
\[{\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} \approx 6,1\].
Đáp án: 6,1.
Lời giải
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3} \right)\).
c) Sai. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 5\).
d) Đúng. Ta có \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {25} }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.