Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (có lời giải) - Đề 1

Ta có:

\({x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 7 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c =  - 2 < 0\).

\({x^2} + {y^2} - x + y + 4 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c =  - \frac{7}{2} < 0\).

\({x^2} + {y^2} - 6x + y + 11 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c =  - \frac{3}{2} < 0\).

\({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0\) có \({a^2} + {b^2} - c = 10 > 0\).

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0\) là phương trình đường tròn.

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 8\) có tâm \(I\left( { - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), có bán kính \(R = 2\)là:

\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0\).

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0\) có \(a =  - 2;\,b = 3;\,c =  - 3\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} - \left( { - 3} \right) = 16\).

Do đó đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\)\(\left(  *  \right)\). Để \(\left(  *  \right)\) là phương trình đường tròn thì ta có: \({a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( { - 2m} \right)^2} - \left( {19m - 6} \right) = 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\).

Tâm \(I\) nằm trên trục hoành \( \Rightarrow I\left( {a\,;\,0} \right) \Rightarrow \) phương trình tổng quát của đường tròn là:

\(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2ax + c = 0\).

Ta có: \(A\left( {2\,;\,3} \right)\,,\,B\left( { - 2\,;\,1} \right) \in \left( C \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 9 - 4a + c = 0\\4 + 1 + 4a + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 9\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2x - 9 = 0\).

\[{x^2} + {y^2} - 2mx - 4\left( {m - 2} \right)y + 6 - m = 0\,(1)\]là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi \[{\left( m \right)^2} + {\left[ {2\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - \left( {6 - m} \right) > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\].