Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Chọn C

Ta có: \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \, = \,\left( {2\,;\, - 1} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,\left( {1\,;\,2} \right)\,\).

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,2.1\, + \,\left( { - 1} \right).2\, = \,0\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_1}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_2}} \,\) \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc.

Chọn B

Gọi \[M\] là giao điểm của 3 đường thẳng \[{d_1};{d_2}{\rm{ }}\]và đường thẳng chứa trục hoành.

\[M \in {d_2} \Rightarrow M\left( { - 1 + t\,;\,3 + 3t} \right),M \in Ox \Rightarrow 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = --1\].

Suy ra \[M\left( { - 2;0} \right)\].

\(M \in {d_1}\)\[ \Rightarrow a\left( { - 2} \right) + 3.0--4 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow a = --2\].

Vậy \(a =  - 2\) là giá trị cần tìm.

Chọn B

Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x--5y + 3 = 0\\x - 3y--7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 44\\y =  - 17\end{array} \right.\).

Vì \[{d_1}\], \[{d_2}\] và \[d\] đồng quy nên đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 44;{\rm{ }} - 17} \right)\)

\[\Delta \] có một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4;\,1} \right)\] nên có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 4} \right).\]

Vì \(d \bot \Delta \) nên \[d\] có một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 4} \right).\]

Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(1\left( {x + 44} \right) - 4\left( {y + 17} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 4y - 24 = 0.\)

Chọn C

Chọn D

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x–4y+1=0\\ d_2:\left\{\begin{array}{l}x=-1+at\\ y=3-\left(a+1\right)t\end{array}\right.\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}}_1=\left(1;-2\right)\\ {\overrightarrow{n}}_2=\left(a+1;a\right)\end{array}\right.\stackrel{d_1\perp d_2}{\to }{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\iff a+1-2a=0\iff a=1.$

Chọn D

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(d\left( {M,{d_1}} \right) = \frac{5}{{13}}d\left( {M,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {5x - 12y + 4} \right|}}{{13}} = \frac{5}{{13}}\frac{{\left| {4x - 3y - 10} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| {5x - 12y + 4\left|  =  \right|4x - 3y - 10} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 12y + 4 = 4x - 3y - 10}\\{5x - 12y + 4 =  - 4x + 3y + 10}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 9y + 14 = 0}\\{9x - 15y - 6 = 0}\end{array}.} \right.} \right.\)

Chọn A

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0\to {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;\sqrt{3}\right)\\ d_2:y-6=0.\to {\overrightarrow{n}}_2=\left(0;1\right)\end{array}\right.\stackrel{\phi =\left(d_1;d_2\right)}{\to }\cos \phi =\frac{\left|\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{0+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to \phi ={30}^{\circ }.$