Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 33t}\\{y =  - 4 + 25t}\end{array}} \right.\); vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \((4 - 30t;3 - 40t)\).

Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất?

Ta có: \(d//\Delta :x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Mặt khác: \(d(A,d) = 3 \Rightarrow \frac{{| - 2 + 4.3 + c|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = 3 \Rightarrow |10 + c| = 3\sqrt {17} \)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3\sqrt {17}  - 10}\\{c =  - 3\sqrt {17}  - 10}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}:x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\\{{d_2}:x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0;x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta ;\Delta \) qua \(A(5;1)\) nên có phương trình \(a(x - 5) + b(y - 1) = 0 \Rightarrow d:ax + by - 5a - b = 0\).

Ta có: \(d(B,\Delta ) = 5 \Rightarrow \frac{{|2a - 3b - 5a - b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Rightarrow | - 3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {(3a + 4b)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 25{a^2} + 25{b^2}\) \( \Rightarrow 16{a^2} + 9{b^2} - 24ab = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 0 \Rightarrow 4a = 3b\).

Chọn \(a = 3 \Rightarrow b = 4\). Ta có phương trình \(\Delta :3x + 4y - 19 = 0\).