Cho ba đường thẳng: \[{d_{1\;}}{\rm{:}}2x - 5y + 3 = 0\], \[{d_2}:x - 3y - 7 = 0\], \[\Delta :4x + y - 1 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] vuông góc với \[\Delta \] sao cho \[{d_1}\], \[{d_2}\] và \[d\] đồng quy.

Ta có: \(d//\Delta :x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Mặt khác: \(d(A,d) = 3 \Rightarrow \frac{{| - 2 + 4.3 + c|}}{{\sqrt {1 + 16} }} = 3 \Rightarrow |10 + c| = 3\sqrt {17} \)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3\sqrt {17}  - 10}\\{c =  - 3\sqrt {17}  - 10}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}:x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\\{{d_2}:x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(x + 4y + 3\sqrt {17}  - 10 = 0;x + 4y - 3\sqrt {17}  - 10 = 0\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta ;\Delta \) qua \(A(5;1)\) nên có phương trình \(a(x - 5) + b(y - 1) = 0 \Rightarrow d:ax + by - 5a - b = 0\).

Ta có: \(d(B,\Delta ) = 5 \Rightarrow \frac{{|2a - 3b - 5a - b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Rightarrow | - 3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {(3a + 4b)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 25{a^2} + 25{b^2}\) \( \Rightarrow 16{a^2} + 9{b^2} - 24ab = 0 \Rightarrow 4a - 3b = 0 \Rightarrow 4a = 3b\).

Chọn \(a = 3 \Rightarrow b = 4\). Ta có phương trình \(\Delta :3x + 4y - 19 = 0\).