Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Tọa độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y\, + \,4 = 0}\\{x + y\, + \,2 = 0}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2x\, - \,y\, = \, - 4\\x\, + \,y\, = \, - 2\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, - 2\\y\, = \,0\end{array} \right.\,.\)

Suy ra \(M\left( { - 2;\,0} \right)\, \Rightarrow \,2a - b\, = \,2\left( { - 2} \right)\, - \,0\, = \, - 4\,.\)

Vì \(\Delta \) vuông góc \(d\) nên đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Theo giả thiết ta có: \(d\left( {M,\;\Delta } \right) = 2d\left( {N,\;\Delta } \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 + 4.3 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }} = 2.\frac{{\left| {4 - 4.1 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c + 10} \right| = 2\left| c \right|\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\\c = \;\frac{{ - 10}}{3}\;\;\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]

Phương trình đường thẳng \(\Delta \)cần tìm là: \(x + 4y + 10 = 0\).

Ta được \(a = 1;\,\;b = 4;\,\;c = 10\). Do đó \(P = 1.4.10 = 40\).

Chọn C

Gọi \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\,\, \Rightarrow \,\,\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y\, + \,6 = 0}\\\begin{array}{l}x\, = \,t\\y = \,1\, + \,t\end{array}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}2t - \,3\left( {1 + t} \right)\, + \,6\, = \,0\\x = \,t\\y\, = \,1\, + \,t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}t\, = \,3\\x\, = \,3\\y\, = \,4\end{array} \right.\,\,.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(M\left( {3\,;\,4} \right)\,\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3\,;\,3} \right)\) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\vec u = \left( {1\,;\,1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

Ta có: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {3 - 4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}.3\sqrt 2 .2\sqrt 2  = 6\).

Ta có véctơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \({\vec n_1}\, = \,\left( {m\,;\,2} \right)\,\), \({\vec n_2}\, = \,\left( {3\,;\, - m - 1} \right)\).

Để \({d_1} \bot \,\,{d_2}\,\, \Leftrightarrow \,\,{\vec n_1}\,.\,{\vec n_2}\, = \,0\, \Leftrightarrow \,m\,.\,3\, + \,2\,.\,\left( { - m - 1} \right)\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,m\, = \,2\).