Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{4}\) và hai điểm \(M\left( { - 2;3} \right),\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} N\left( {4; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc \(d\) và khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta \) gấp 2 lần khoảng cách từ \(N\) đến \(\Delta \). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) dạng \(a{\kern 1pt} x + \,b{\kern 1pt} y + c = \,0\) với \(\,a{\kern 1pt} {\kern 1pt} \),\({\kern 1pt} b{\kern 1pt} \) và \(c{\kern 1pt} {\kern 1pt} \) là các số thực dương. Tính \(P{\kern 1pt} {\kern 1pt}  = {\kern 1pt} \,a{\kern 1pt} {\kern 1pt} .{\kern 1pt} {\kern 1pt} b{\kern 1pt} {\kern 1pt} .{\kern 1pt} c\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3\,;\,3} \right)\) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\vec u = \left( {1\,;\,1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

Ta có: \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {3 - 4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}.3\sqrt 2 .2\sqrt 2  = 6\).

Ta có: \(d//\Delta :y - 3 = 0 \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(y + c = 0\).

Ta có: \(M(0;3) \in \Delta \). Vì \(d\) cách \(\Delta \) một khoảng bằng 5 nên \(d(d,\Delta ) = 5\)

\( \Rightarrow d(M,d) = 5 \Rightarrow \frac{{|3 + c|}}{{\sqrt {0 + 1} }} = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 2}\\{c =  - 8}\end{array}.} \right.\)

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn là \(y + 2 = 0;y - 8 = 0\).