Đề kiểm tra Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

\(\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not  = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not  = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Ta có véctơ chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \({\vec u_1}\, = \,\left( {3\,;\,1} \right)\), \({\vec u_2}\, = \,\left( {6\,;\,2} \right)\,\)\( \Rightarrow \,{\vec u_2}\, = \,3{\vec u_1}\,\,\left( 1 \right)\,\).

Lấy điểm \(M\left( { - 1;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_1}\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d_2}\) thấy thỏa mãn \( \Rightarrow \,M\left( { - 1\,;\,0} \right)\,\, \in \,\,{d_2}\) \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.

Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\x + 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\).

Để 3 đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy thì \({d_3}\) phải đi qua điểm \(A\)

\[ \Rightarrow m + 1 - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 6.\]

Chọn D

Gọi \[{\vec n_d}\], \[{\vec n_{d'}}\] lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] và \[d':\,\,x + y = 0\]

Ta có \[\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ  \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4.\)

Chọn A

Chọn A

\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]