Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _1}:2x + my + 999 = 0\). Tìm \(m\) để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng ${45}^o$

Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\)) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = ( - 33;25),{\vec u_2} = ( - 30; - 40)\); côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là: \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{| - 33 \cdot ( - 30) + 25( - 40)|}}{{\sqrt {{{( - 33)}^2} + {{25}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 30)}^2} + {{( - 40)}^2}} }} \approx 0,00483\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) qua \(M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0\).

Ta có: \(d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b =  - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a =  - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Với \(3a =  - b\); chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0\).

Với \(b = 0\); chọn \(a = 1 \Rightarrow d:x = 2\).

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

\(d:x - 3y + 13 = 0\) hay \(d:x = 2\).