Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và cách đều các điểm \(P,Q\) với \(M(2;5),P( - 1;2),Q(5;4)\).

Gọi \[{\vec n_d}\], \[{\vec n_{d'}}\] lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] và \[d':\,\,x + y = 0\]

Ta có \[\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ  \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4.\)

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;1),{\vec n_2} = (2;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \cos 45^\circ  \Rightarrow \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow 4 + {m^2} = 4 + 4m + {m^2} \Rightarrow m = 0\). Vậy \(m = 0\) thỏa mãn đề bài.