Có hai giá trị \[{m_1},\,\,{m_2}\] để đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] hợp với đường thẳng\[d':\,\,x + y = 0\] một góc \(60^\circ \). Tổng \[{m_1} + {m_2}\] bằng:

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) qua \(M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0\).

Ta có: \(d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b =  - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a =  - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Với \(3a =  - b\); chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0\).

Với \(b = 0\); chọn \(a = 1 \Rightarrow d:x = 2\).

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

\(d:x - 3y + 13 = 0\) hay \(d:x = 2\).

\({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;m + 1),{\vec n_2} = (m;2)\).

Điều kiện cần: \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Rightarrow {\vec n_1}\) cùng phương với \({\vec n_2}\)

\( \Rightarrow 1.2 = (m + 1)m \Rightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - 2}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Thử lại (điều kiện đủ):

- Với \(m = 1\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 - 2t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}:x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.

- Với \(m =  - 2\) thì \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8 + t}\\{y = 10 + t}\end{array},{\Delta _2}: - 2x + 2y - 14 = 0} \right.\) (hai đường thẳng này đã có cặp vectơ pháp tuyến cùng phương nhau). Vì \(A(8;10) \in {\Delta _1},A \notin {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Do vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn đề bài.

Vậy ta tìm được hai giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m = 1;m =  - 2\).