Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 33t}\\{y =  - 4 + 25t}\end{array}} \right.\); vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \((4 - 30t;3 - 40t)\).

Tính gần đúng côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A,B\).

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) qua \(M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0\).

Ta có: \(d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b =  - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a =  - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Với \(3a =  - b\); chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0\).

Với \(b = 0\); chọn \(a = 1 \Rightarrow d:x = 2\).

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

\(d:x - 3y + 13 = 0\) hay \(d:x = 2\).

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;1),{\vec n_2} = (2;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \cos 45^\circ  \Rightarrow \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot m|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {4 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow 4 + {m^2} = 4 + 4m + {m^2} \Rightarrow m = 0\). Vậy \(m = 0\) thỏa mãn đề bài.