Cho 3 đường thẳng \[{d_1}:2x + y--1 = 0,\;\;\;{d_2}:x + 2y + 1 = 0,\]\[{d_3}:mx--y--7 = 0\]. Tìm \[m\] để ba đường thẳng đồng qui.

Gọi \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) qua \(M(2;5) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Rightarrow \Delta :ax + by - 2a - 5b = 0\).

Ta có: \(d(P,d) = d(Q,d) \Leftrightarrow \frac{{| - a + 2b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|5a + 4b - 2a - 5b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow | - 3a - 3b| = |3a - b| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a - 3b = 3a - b}\\{ - 3a - 3b =  - 3a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a =  - b}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Với \(3a =  - b\); chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 3 \Rightarrow d:x - 3y + 13 = 0\).

Với \(b = 0\); chọn \(a = 1 \Rightarrow d:x = 2\).

Vậy có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài:

\(d:x - 3y + 13 = 0\) hay \(d:x = 2\).

Gọi \[{\vec n_d}\], \[{\vec n_{d'}}\] lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] và \[d':\,\,x + y = 0\]

Ta có \[\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ  \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4.\)