Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(2;0)\) và \(B(6;4)\). Viết phương trình đường tròn \((C)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm \(A\) và khoảng cách từ tâm của đường tròn \((C)\) đến điểm \(B\) bằng 5.

Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\) có dạng: \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). Do \((C)\) tiếp xúc \(Ox,Oy \Leftrightarrow R = |a| = |b|\).

\( + \) Trường hợp 1: Nếu \(a = b\)

\((C):{(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 - a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - \sqrt 2 }\\{a = 2 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\). Vậy có 2 đường tròn:

\(\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}\)

\(\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}\)

+ Trường hợp 2: Nếu \(a =  - b\)

(C): \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\). Do \((C)\) qua \(A(1;1)\) suy ra

\({(1 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\) (vô nghiệm)

Gọi tâm đường tròn là \(I(3t + 11;t) \in \Delta \). Ta có: \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(3t + 11 - 2)^2} + {(t - 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t - 1)^2} \Leftrightarrow 22t =  - 55 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{2}.\)

Suy ra \(I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\); bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{65}}{2}} \).

Phương trình đường tròn \((C):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}\).