Hai người cùng kéo một xe goòng. Người thứ nhất và người thứ hai lần lượt tác dụng vào chiếc xe goòng bằng hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hai lực vuông góc nhau, phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường) như hình vẽ và lực tổng hợp hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \). Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \] (N), người thứ hai kéo một lực là \[80\] (N).

a) \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 80,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40\sqrt 3 \).

b) \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).

c) Độ lớn của \(\overrightarrow F \) bằng \(40\sqrt 7 \) (N).

d) Công sinh ra khi kéo vật đi một khoảng dài \(50\) (m) là \(a\sqrt b \) (J) thì tổng \(a + b = 1021\).

Ta có \[\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ  =  - 3\].

\[{\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37}  \approx 6,1\].

Đáp án: 6,1.

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC} \] khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}\).

Vì \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ \].

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \).