Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:  

Đáp án đúng là: A.

Xét tứ giác AEMF có: $\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{MFA}=90°$.

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MA}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}$.

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$.

Để $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ thì $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$

Do đó, $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).

Vì M nằm trong tam giác ABC.

Do đó M thuộc đoạn PQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+2\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}$.

Mà $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Do đó: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$

Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$.