Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$.

Hướng dẫn giải:  

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{MA}-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}$      (quy tắc ba điểm)

$\iff -\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$

Vậy M nằm trên tia AB và AM = 3AB.

Hướng dẫn giải:  

Đáp án đúng là: A.

Xét tứ giác AEMF có: $\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{MFA}=90°$.

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MA}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}$.

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$.

Để $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ thì $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$

Do đó, $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).

Vì M nằm trong tam giác ABC.

Do đó M thuộc đoạn PQ.