Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\) (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến \(B\).

Một người bán buôn Thanh Long Đỏ ở Lập Thạch – Vĩnh Phúc nhận thấy rằng: Nếu bán với giá \(20000\)nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì mỗi tuần có \(90\) khách đến mua và mỗi khách mua trung bình \(60\)\[{\rm{kg}}\]. Cứ tăng giá \(2000\) nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì khách mua hàng tuần giảm đi \(1\) và khi đó khách lại mua ít hơn mức trung bình \(5\)\[{\rm{kg}}\], và như vậy cứ giảm giá \(2000\) nghìn\[{\rm{/kg}}\] thì số khách mua hàng tuần tăng thêm \(1\) và khi đó khách lại mua nhiều hơnmức trung bình \(5\)\[{\rm{kg}}\]. Hỏi người đó phải bán với giá mỗi \[{\rm{kg}}\] là bao nhiêu để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất, biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là \(2200\) nghìn \[{\rm{/kg}}\]. (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước \[40\]cm và \[60\]cm người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc để gập lại được một cái hộp không nắp.

Để thể tích hộp đó lớn nhất thì cạnh của hình vuông cắt bỏ có giá trị gần với

Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau \(n\) lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P(n) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015n}}}}\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên \(30\% \) ?

Các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm virus corona kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) với \(\left( {0 \le t \le 25} \right)\). Nếu coi \(f\left( t \right)\) là một hàm xác định trên đoạn \(\left[ {0;25} \right]\) thì hàm \(f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\). Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.

Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời \(v\left( t \right)\) phụ thuộc vào thời gian \(t\) theo hàm số \(v\left( t \right) = - {t^4} + 8{t^2} + 500\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Trong khoảng thời gian \(t = 0\left( {\rm{s}} \right)\) đến \(t = 5\left( {\rm{s}} \right)\) chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?

Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\left( m \right)\)của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\left( h \right)\)được cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\)Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s = - {t^3} + 6{t^2} + 17t\), với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc \(v\,\left( {m/s} \right)\)của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng \(8\)giây đầu tiên bằng