Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SDM} \right)\) và \(\left( {SCN} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đồng thời khoảng cách giữa \(DM\) và \(SC\) bằng \(\frac{{12}}{7}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(H = DM \cap CN\).

Theo bài ra ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(\Delta ADM = \Delta DCN\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\) nên \(\widehat {AMD} = \widehat {DNC}\).

\(\widehat {HDN} + \widehat {DNH} = \widehat {HDN} + \widehat {AMD} = 90^\circ \) (Do tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\)).

Nên \(DM \bot CN\).

Ta có \(DM \bot SH,DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SCN} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SCN} \right)\), kẻ \(HK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}DM \bot \left( {SCN} \right)\\KH \subset \left( {SCN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow KH \bot DM\).

Nên \(KH\) là đường vuông góc chung của \(DM\) và \(SC\).

Khi đó \(d\left( {SC,MD} \right) = HK = \frac{{12}}{7}\).

Ta có tam giác \(CDN\) vuông tại \(D\) nên \(CN = \sqrt {C{D^2} + D{N^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(CDN\) có: \(C{D^2} = CN \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Trong tam giác vuông \(SHC\) có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{C{H^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{{49}}{{144}} - \frac{5}{{16}} = \frac{1}{{36}} \Rightarrow SH = 6\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot {2^2} = 8.\)

Đáp án: 8.