Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SDM} \right)\) và \(\left( {SCN} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đồng thời khoảng cách giữa \(DM\) và \(SC\) bằng \(\frac{{12}}{7}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng bao nhiêu?

a) Đúng. Tọa độ điểm \[A\] là \[\left( {4;0;0} \right).\]

b) Đúng. Tọa độ điểm \[O\] là \[\left( {0;0;0} \right).\] Tọa độ điểm \[Q\] là \[\left( {2;5;4} \right).\]

Do đó \[\overrightarrow {OQ} = \left( {2;5;4} \right).\]

c) Sai. Tọa độ điểm \[H\] là \[\left( {0;5;3} \right).\] Do đó tọa độ \[\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right).\]

d) Đúng. Tọa độ điểm \[C\] là \[\left( {0;5;0} \right).\] 

Do \(I\) là trọng tâm tam giác \(GBC\) nên ta có: \(\overrightarrow {SI} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {SG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\overrightarrow {SI} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = \frac{1}{9}\overrightarrow {SA} + \frac{4}{9}\overrightarrow {SB} + \frac{4}{9}\overrightarrow {SC} \).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{9}\\y = \frac{4}{9}\\z = \frac{4}{9}\end{array} \right. \Rightarrow 9\left( {x - y + z} \right) = 1\).

Đáp án: 1.