Cho \(\Delta ABC\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC,\) lấy điểm \(N\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(HN.\) Biết rằng diện tích \(\Delta AHC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

          a) \(HM = \frac{1}{3}AC.\)

          b) Tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật.

          c) \(\widehat {ANC} = 90^\circ .\)

          d) Diện tích \(\Delta ANC\) bằng \(30\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Đúng.

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM,\;CN\) của \(\Delta ABC\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

b) Sai.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AM = MC = \frac{1}{2}AC.\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AN = NB = \frac{1}{2}AB.\)

Do đó, \(AN = NB = AM = MC.\)

Tam giác \(BMC\) và tam giác \(CNB\) có: \(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\;\left( {cmt} \right),\;MC = BN\;\left( {cmt} \right),\;BC\;{\rm{chung}}{\rm{.}}\)

Do đó, \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {c - g - c} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {cmt} \right)\) nên \(BM = CN.\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = \frac{2}{3}CN,\;BG = \frac{2}{3}BM.\) Suy ra: \(GB = GC.\)

Mà \(GD = GB,\;GE = GC\) nên \(GD = GB = GE = GC.\) Suy ra: \(EG + GC = BG + GD\) hay \(BD = CE.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BEDC\) có hai đường chéo \(CE,\;BD\) cắt nhau tại \(G;\;\) \(G\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(EC.\) Do đó, tứ giác \(BEDC\) là hình bình hành. Mà \(BD = CE\) nên tứ giác \(BEDC\) là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {EBC} = 90^\circ .\)

Đáp án: \(10\)

Tứ giác \(ABED\) có: \(\widehat A = \widehat B = \widehat {BED} = \widehat {EDA} = 90^\circ \) nên tứ giác \(ABED\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EB = AD = 4\;{\rm{m,}}\;AB = DE.\)

Ta có: \(EC = CB - BE = 10 - 4 = 6\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Diện tích tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) bằng \(30\;{{\rm{m}}^2}\) nên

\(\frac{1}{2}EC \cdot DE = 30\) \(\)

\(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot DE = 30\)

\(DE = 10\;{\rm{m}}.\)

Do đó, \(AB = DE = 10\;{\rm{m}}.\) Vậy \(AB = 10\;{\rm{m}}.\)