Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{2x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Chọn C.

a) Có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là \(\left( { - 1;1} \right)\).

d) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)\( \Rightarrow M\left( {{x_0};1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}}} \right)\).

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: \({d_1} = \left| {{x_0} + 1} \right|\).

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: \({d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\).

Vậy \({d_1}.{d_2} = 2\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai; d) Sai.