Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \(A\), có cạnh \(AB\) bằng \[\sqrt 2 \]. Tính độ dài vectơ tổng \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \].

Ta có \({P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x \cdot \cos x\).

Theo giả thiết: \(\sin x + \cos x = 0,2 \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 0,04\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x \cdot \cos x + {\cos ^2}x = 0,04 \Rightarrow 1 + 2\sin x \cdot \cos x = 0,04\)\( \Rightarrow 2\sin x \cdot \cos x =  - 0,96\).

Do đó \({P^2} = 1 + 0,96 = 1,96 \Rightarrow P = 1,4\) (vì \(P \ge 0\)).

Đáp án: 1,4.

a) Sai. Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}BC\) và \(MN\,{\rm{//}}\,BC\).

b) Đúng. Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\). (1)

c) Sai. Xét nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(C\), ta có \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(N\) và \(C\) cùng phía \(AB\) hay cùng phía \(MB\), mà \(MN\,{\rm{//}}\,BC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

d) Đúng. Ta có \(P\) đối xứng \(M\) qua \(N\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng, dễ thấy \(\overrightarrow {MN}  \ne \overrightarrow 0 \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. (2)

Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC} \).