Hình nào dưới đây biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình \[2x + y = 3?\] 

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Đúng.    c) Sai.        d) Sai.

a) Sai. Ta có: \(m\left( {5x - 2} \right) < 1\)

 \[5mx - 2m - 1 < 0\]

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(5m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).

Do đó ý a) là sai.

b) Đúng. Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(5x - 2 < 1\) hay \(5x < 3\) nên \(x < \frac{3}{5}\).

Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{3}{5}\). Do đó ý b) là đúng.

c) Sai. Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 5x + 2 < 1\) hay \( - 5x < - 1\) nên \[x > \frac{1}{5}\].

Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \[x > \frac{1}{5}\]. Do đó ý c) là sai.

d) Sai. Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - \,10x + 4 < 1\) hay \( - 10x < - 3\) nên \(x > \frac{3}{{10}}\).

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là 1. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: \(2x + y\) (mét).

Diện tích mảnh vườn là: \(xy\) (m²).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\] với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) ta được:

\[xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{y}{2}\) và \(2x + y = 100\) hay \(2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100\) tức là \(y = 50\), \(x = 25.\)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)