Cho hình thang \(ABCD\;\left( {AB\;{\rm{//}}\;CD} \right)\) có \(E,\;F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;BC.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AF\) và \(CD.\)

a) \(AB > CK.\)

b) \(EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)

c) \(EF = \frac{1}{2}DK.\)

d) \(EF = \frac{{AB + CD}}{3}.\)

a) Sai.

Vì \(E,\;F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;BC\) nên \(AE = ED = \frac{1}{2}AD,\;BF = FC.\)

Vì \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên \(\widehat B = \widehat {{C_1}}\) (hai góc so le trong).

\(\Delta FBA\) và \(\Delta FCK\) có: \(\widehat B = \widehat {{C_1}},\;BF = FC,\;\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\Delta FBA = \Delta FCK\;\left( {g - c - g} \right).\)

Suy ra: \(AB = CK.\)

b) Đúng.

Vì \(\Delta FBA = \Delta FCK\;\left( {cmt} \right)\) nên \(AF = FK.\) Suy ra, \(F\) là trung điểm của \(AK.\)

\(\Delta ADK\) có: \(E,\;F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\;AK\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ADK.\)

Suy ra: \(EF\;{\rm{//}}\;KD,\) mà \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên \(EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)

c) Đúng.

Vì \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ADK\) nên \(EF = \frac{1}{2}DK.\)

d) Sai.

Ta có: \(EF = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2}\left( {CK + DC} \right).\) Mà \(AB = CK\;\)(cmt) nên \(EF = \frac{{AB + CD}}{2}.\)