Cho hàm số $y=\left(3–2m\right)x+m+4.$

     a) Tìm \[m\] để đồ thị hàm số trên là một đường thẳng song song với trục hoành.

     b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

     c) Gọi \[M\] là giao điểm của đồ thị hàm số trên và đường thẳng \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4.\] Tìm quỹ tích của \[M\] khi \[m\] thay đổi.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng $y=\left(3–2m\right)x+m+4.$ song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng $y=\left(3–2m\right)x+m+4$ luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số $y=\left(3–2m\right)x+m+4.$ với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, $y_0=\left(3–2m\right)x_0+m+4$ đúng với mọi \(m\)

$y_0=3x_0–2m{x}_0+m+4$ đúng với mọi \(m\)

$\left(2x_0-1\right)m=3x_0-y_0+4$ đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

c) Để hai đường thẳng $y=\left(3–2m\right)x+m+4$ và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng $y=\left(3–2m\right)x+m+4.$ và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

$\left(3–2m\right)x_M+m+4=2x_M-2m^2+2m+4$

$\left(3–2m-2\right)x_M+m+4+2m^2-2m-4=0$

$\left(1–2m\right)x_M+2m^2-m=0$ $\left(*\right)$

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4,\] ta được: \[{y_M} = 2m - 2{m^2} + 2m + 4 = - 2{m^2} + 4m + 4\]

Do đó \({y_M} = - 2x_M^2 + 4{x_M} + 4.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 4x + 4.\)