Câu hỏi:

22/09/2025 153

Cho hàm số $y = (3 - 2 m) x + m + 4.$

     a) Tìm \[m\] để đồ thị hàm số trên là một đường thẳng song song với trục hoành.

     b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

     c) Gọi \[M\] là giao điểm của đồ thị hàm số trên và đường thẳng \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4.\] Tìm quỹ tích của \[M\] khi \[m\] thay đổi.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng $y = (3 - 2 m) x + m + 4.$ song song với trục hoành thì $3 - 2m = 0$ và $m + 4 \ne 0.$

Do đó $m = \frac{3}{2}$ và $m \ne - 4.$

Vậy $m = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $y = (3 - 2 m) x + m + 4$ luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm $I$ thỏa mãn hàm số $y = (3 - 2 m) x + m + 4.$ với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, $y_{0} = (3 - 2 m) x_{0} + m + 4$ đúng với mọi $m$

$y_{0} = 3 x_{0} - 2 m x_{0} + m + 4$ đúng với mọi $m$

$(2 x_{0} - 1) m = 3 x_{0} - y_{0} + 4$ đúng với mọi $m$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là ${x_0} = \frac{1}{2}$ và ${y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.$

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là $I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).$

c) Để hai đường thẳng $y = (3 - 2 m) x + m + 4$ và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì $3 - 2m \ne 2,$ do đó $m \ne \frac{1}{2}.$

Hoành độ giao điểm $M$ của hai đường thẳng $y = (3 - 2 m) x + m + 4.$ và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

$(3 - 2 m) x_{M} + m + 4 = 2 x_{M} - 2 m^{2} + 2 m + 4$

$(3 - 2 m - 2) x_{M} + m + 4 + 2 m^{2} - 2 m - 4 = 0$

$(1 - 2 m) x_{M} + 2 m^{2} - m = 0$ $(*)$

Vì $m \ne \frac{1}{2}$ nên ta có $1 - 2m \ne 0,$ khi đó từ $\left( * \right)$ ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4,\] ta được: \[{y_M} = 2m - 2{m^2} + 2m + 4 = - 2{m^2} + 4m + 4\]

Do đó ${y_M} = - 2x_M^2 + 4{x_M} + 4.$

Vậy giao điểm $M$ của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đồ thị hàm số $y = - 2{x^2} + 4x + 4.$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = - 2x,$ $\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7$ và $\left( {{d_3}} \right):y = - 2mx + 5.$

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right).$

b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình:

$ - 2x = 1,5x + 7$

$ - 3,5x = 7$

$x = - 2.$

Thay $x = - 2$ vào hàm số $y = - 2x,$ ta được $y = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là $A\left( { - 2;4} \right).$

b) Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ thì $ - 2m \ne - 2,$ hay $m \ne 1.$

Để $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right)$ thì $ - 2m \ne 1,5,$ hay $m \ne - \frac{3}{4}.$

Khi đó, để ba đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ cần đi qua giao điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right).$

Do đó $4 = - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5$

$4m = - 1$

$m = - \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $m =- \frac{1}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 2

Trong giờ thực hành thí nghiệm, một học sinh thả một miếng chì có khối lượng $0,31$ kg đang ở nhiệt độ $100^\circ {\rm{C}}$ vào $0,25$ kg nước đang ở nhiệt độ $58,5^\circ {\rm{C}}.$ Biết nhiệt dung riêng của nước là $4\,\,200$ J/kg.K, nhiệt dung riêng của chì là 130 J/kg.K. gọi $t^\circ {\rm{C}}$ là nhiệt độ khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt, ${Q_{nuoc}}$ (J) là nhiệt lượng nước thu vào để tăng nhiệt độ từ $58,5^\circ {\rm{C}}$ lên $t^\circ {\rm{C,}}$ ${Q_{chi}}$ (J) là nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ $100^\circ {\rm{C}}$ xuống $t^\circ {\rm{C}}{\rm{.}}$ Biết công thức tính nhiệt lượng thu vào/ tỏa ra là: $Q = m \cdot c \cdot \Delta t$ (J), trong đó $m$ là khối lượng của vật (kg), $c$ là nhiệt dung riêng của chất làm nên vật (J/kg.K) và $\Delta t = {t_2} - {t_1}$ là độ tăng/giảm nhiệt độ của vật $\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)$ với ${t_1}$ là nhiệt độ ban đầu, ${t_2}$ là nhiệt độ cuối cùng.

a) Viết công thức tính ${Q_{chi}}$ theo $t.$ Công thức này có phải là hàm số bậc nhất không? Nếu có, hãy tìm các hệ số $a,b$ của nó.

b) Khi có sự cân bằng nhiệt thì nhiệt độ của nước và chì là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ $100^\circ {\rm{C}}$ xuống $t^\circ {\rm{C}}$ là:

${Q_{chi}} = 0,31 \cdot 130 \cdot \left( {100 - t} \right) = - 40,3t + 4\,\,030$ (J).

Công thức trên là hàm số bậc nhất với hệ số $a = - 40,3$ và $b = 4\,\,030.$

b) Nhiệt lượng chì thu vào để tăng nhiệt độ từ $58,5^\circ {\rm{C}}$ lên $t^\circ {\rm{C}}$ là:

${Q_{chi}} = 0,25 \cdot 4\,\,200 \cdot \left( {t - 58,5} \right) = 1\,\,050t - 61\,\,425$ (J).

Khi cân bằng nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng với nhiệt lượng thu vào nên ta có: ${Q_{nuoc}} = {Q_{chi}}$

Do đó $1\,\,050t - 61\,\,425 = - 40,3t + 4\,\,030$

$1\,\,090,3t = 65\,\,455$

$t \approx 60$

Vậy nhiệt độ của nước và chì khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt là khoảng $60^\circ {\rm{C}}.$

Câu 3