Cho hình vuông \[ABCD.\] Lấy điểm \[M\] thuộc đường chéo \[BD.\] Kẻ \[ME\] vuông góc với \(AB\) tại \[E,{\rm{ }}MF\] vuông góc với \[AD\] tại \[F.\]
a) Tứ giác \(AEMF\) là hình gì? Vì sao?
b) Xác định vị trí của điểm \[M\] trên đường chéo \[BD\] để diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.
Cho hình vuông \[ABCD.\] Lấy điểm \[M\] thuộc đường chéo \[BD.\] Kẻ \[ME\] vuông góc với \(AB\) tại \[E,{\rm{ }}MF\] vuông góc với \[AD\] tại \[F.\]
a) Tứ giác \(AEMF\) là hình gì? Vì sao?
b) Xác định vị trí của điểm \[M\] trên đường chéo \[BD\] để diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho hình vuông \[ABCD.\] Lấy điểm \[M\] thuộc đường chéo \[BD.\] Kẻ \[ME\] vuông góc với \(AB\) tại \[E,{\rm{ }}MF\] vuông góc với \[AD\] tại \[F.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/28-1758293690.png)
a) Do \[ME \bot AB\] tại \(E\) nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)
Do \[MF \bot AD\] tại \(F\) nên \(\widehat {MFA} = 90^\circ .\)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {EAF} = 90^\circ .\)
Tứ giác \[AEMF\] có \(\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \[AEMF\] là hình chữ nhật.b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\)
Do đó \(\widehat {ABD} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta BEM\) vuông cân tại \(E,\) nên \(BE = ME.\)
Do \[AEMF\] là hình chữ nhật nên \(ME = AF\), suy ra \(BE = AF.\)
Chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] là: \[2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.\]
Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] không đổi.
Do đó, diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất khi \[AEMF\] là hình vuông.
Suy ra \[ME = MF.\]
Khi đó \[\Delta BEM = \Delta DFM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \[BM = DM\] hay \[M\] là trung điểm của \[BC.\,\]
Vậy với \[M\] là trung điểm của \[BC\] thì diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:
Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:
b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:
\(S = 9 + 19,08 = 28,08\) (m2).
Do \(28,08 > 20\) nên số tiền mua vải được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.
Vậy số tiền mua vải là: \(28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140\) (đồng).
Lời giải
a) Xét tứ giác \(ADEF\) có:
\(\widehat {FAD} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\)
\(\widehat {AFE} = 90^\circ \) (vì \(EF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\));
\(\widehat {ADE} = 90^\circ \) (vì \(ED\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\))
Vậy tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.
b) Tam giác \(ABC\) vuông có \(AE\) là đường trung tuyến nên \(AE = EB = EC = \frac{1}{2}BC\).
Suy ra tam giác \(AEC\) cân tại \(E\). Mà \(ED\) là đường cao của tam giác nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(D\) là trung điểm của \(AC\) .
Xét tứ giác \(AECK\) có \(D\) là trung điểm của \(AC\), \(EK\) và \(EK\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\).
Suy ra tứ giác \(AECK\) là hình thoi.
c) Vì tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(O\) là trung điểm của \(AE\).
Vì tứ giác \(AECK\) là hình thoi nên \(AK\,{\rm{//}}\,EC;\,\,AK = EC\)
Mà \(EC = EB\) do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AK\,{\rm{//}}\,EB;\,\,AK = EB\)
Suy ra tứ giác \(AKEB\) là hình bình hành. Khi đó, hai đường chéo \(AE,\,\,BK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà \(O\) là trung điểm của \(AE\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(BK\).
Suy ra ba điểm \(B,O,K\) thẳng hàng.
d) Ta có \(\Delta AME\) vuông tại \(E\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AE\) nên \(OM = \frac{1}{2}AE\)
Mà tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(FD = AE\). Do đó, \(OM = \frac{1}{2}FD\)
Xét \(\Delta FMD\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(FD\) và \(OM = \frac{1}{2}FD\) nên \(\Delta FMD\) vuông tại \(M\), suy ra \(\widehat {DMF} = 90^\circ .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo