Chứng minh rằng
a) Nếu \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] thì \(M = 2{x^2} - 5\) chia hết cho \[3\] .
b) Nếu \(x\) là số tự nhiên lẻ thì \(N = {x^3} + 3{x^2} - x - 3\) chia hết cho \[8\] .
c) Đa thức \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\] (với \(x \in \mathbb{Z}\)) là bình phương của một số nguyên.
Chứng minh rằng
a) Nếu \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] thì \(M = 2{x^2} - 5\) chia hết cho \[3\] .
b) Nếu \(x\) là số tự nhiên lẻ thì \(N = {x^3} + 3{x^2} - x - 3\) chia hết cho \[8\] .
c) Đa thức \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\] (với \(x \in \mathbb{Z}\)) là bình phương của một số nguyên.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Vì \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] nên ta có \(x = 3k + 1\) hoặc \(x = 3k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
⦁ Với \(x = 3k + 1\) ta có: \[M = 2{\left( {3k + 1} \right)^2} - 5\]\[ = 2\left( {9{k^2} + 6k + 1} \right) - 5\]
\[ = 18{k^2} + 12k + 2 - 5\]\[ = 18{k^2} + 12k - 3 = 3\left( {6{k^2} + 4k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\].
⦁ Với \(x = 3k + 2\) ta có: \[M = 2{\left( {3k + 2} \right)^2} - 5\]\[ = 2\left( {9{k^2} + 12k + 4} \right) - 5\]
\[ = 18{k^2} + 24k + 8 - 5\]\[ = 18{k^2} + 24k + 3\]\[ = 3\left( {6{k^2} + 8k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\].
Vậy \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] thì \(M = 2{x^2} - 5\) chia hết cho \[3\].
b) Vì \(x\) là số tự nhiên lẻ nên ta có \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\). Do đó:
\(N = {\left( {2k + 1} \right)^3} + 3{\left( {2k + 1} \right)^2} - \left( {2k + 1} \right) - 3\)
\( = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 + 12{k^2} + 12k + 3 - 2k - 1 - 3\)
\( = 8{k^3} + 24{k^2} + 16k\)
\( = 8\left( {{k^3} + 3{k^2} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,8\)
Vậy \(x\) là số tự nhiên lẻ thì \(N = {x^3} + 3{x^2} - x - 3\) chia hết cho \[8\].
c) Ta có \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\]\( = x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\)
\( = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1\)\( = {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1\)\( = {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}\).
Với \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \(\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \in \mathbb{Z}\). Do đó \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}\) là bình phương của một số nguyên.
Vậy đa thức \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\] (với \(x \in \mathbb{Z}\)) là bình phương của một số nguyên.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:
Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:
b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:
\(S = 9 + 19,08 = 28,08\) (m2).
Do \(28,08 > 20\) nên số tiền mua vải được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.
Vậy số tiền mua vải là: \(28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140\) (đồng).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)
Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)
\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)
\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)
Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).
Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:
\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo